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枣庄市中考数学试题解析(4)
(3)分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点.直线AB交x轴于D点.
令﹣2x+8=0，得x=4，即D(4，0).
∵A(1，6)，B(3，2)，
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD= ×4×6﹣ ×4×2=8.
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想.
23.(8分)(2015枣庄)如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO=DO;
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长.
考点： 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形..
分析： (1)通过证明△ODF与△OBE全等即可求得.
(2)由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后等腰直角三角形的性质即可求得.
解答： (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE(AAS)
∴BO=DO;
(2)解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE(AAS)
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG= =DO，
∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD
∴AD=2 ，
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理.
24.(10分)(2015枣庄)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由;
(2)求证：BC2=CD2OE;
(3)若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的长.
考点： 切线的判定;相似三角形的判定与性质..
分析： (1)连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线;
(2)证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得;
(3)在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
解答： (1)证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE= BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠AD O+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线;
(2)证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=ACCD.
∴BC2=2CDOE;
(3)解：∵cos∠BAD= ，
∴sin∠BAC= = ，
又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，
∴AC=15.
又∵AC=2OE，
∴OE= AC= .
点评： 本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.
25.(10分)(2015枣庄)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( ， )和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长 有最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由;
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
考点： 二次函数综合题..
专题： 几何综合题;压轴题.
分析： (1)已知B(4，m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.
(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的 差.可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函 数的性质即可求出PC的最大值.
(3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解.
解答： 解：(1)∵B(4，m)在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4，6)，
∵A( ， )、B(4，6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6.
(2)设动点P的坐标为(n，n+2)，则C点的坐标为(n，2n2﹣8n+6)，
∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)，
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2(n﹣ )2+ ，
∵PC>0，
∴当n= 时，线段PC最大且为 .
(3)∵△PAC为直角三角形，
i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°.
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在;
ii)若点A为直角顶点，则∠PAC=90°.
如答图3﹣1，过点A( ， )作AN⊥x轴于点N，则ON= ，AN= .
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，
∴M(3，0).
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则： ，解得 ，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x= (与点A重合，舍去)
∴C(3，0)，即点C、M点重合.
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1(3，5);
iii)若点C为直角顶点，则∠ACP=90°.
∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
如答图3﹣2，作点A( ， )关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C( ， ).
当x= 时，y=x+2= .
∴P2( ， ).
∵点P1(3，5)、P2( ， )均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3，5)或( ， ).
点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识.
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