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九连环的解法
分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。
第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。
00000-00000-0-00000
10000-00001-1-00001
11000-00011-2-00010
01000-00010-3-00011
01100-00110-4-00100
11100-00111-5-00101
10100-00101-6-00110
00100-00100-7-00111
00110-01100-8-01000
10110-01101-9-01001
11110-01111-10-01010
01110-01110-11-01011
01010-01010-12-01100
11010-01011-13-01101
10010-01001-14-01110
00010-01000-15-01111
00011-11000-16-10000
10011-11001-17-10001
11011-11011-18-10010
01011-11010-19-10011
01111-11110-20-10100
11111-11111-21-10101
我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是
10111-11101-22-10110
00111-11100-23-10111
00101-10100-24-11000
10101-10101-25-11001
11101-10111-26-11010
01101-10110-27-11011
01001-10010-28-11100
11001-10011-29-11101
10001-10001-30-11110
00001-10000-31-11111
这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。
注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变;如果是1，该数字改变(0变为1，1变为0)。例，二进制数11011的格雷码是10110.
由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变;如果是奇数，该数字改变。
例 格雷码11011表示为二进制数是10010.
以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。
例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?
解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326-141=186，完整解法需要186步。
简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，
对于N=141，得到N0=103;对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。
九连环的解法
首先，我们先统一定义几个名词，这样在解环中便于交流沟通。左边为左侧，左手握，右边为右侧，右手自由操作！从左往右，我们依次给各个环编号为9、8、7、6、5、4、3、2、1。
九连环
串起来各个环的结构体我们称为条形框。当条形框与九个环完全分离时，我们视为解环完成。
操作
其次，我们需要对操作步骤进行命名。
环取下来，即从条形框上解下来，操作方法唯一，这个操作过程我们描述为“第几环右上左绕下”，如图所示！
环安装上，还原回去，即安放在条形框上，操作方法唯一，这个操作过程我们描述为“第几环上进右绕下”。
解环
接下来，我们进入解九连环的具体操作，我用逐步法写出来，便于大家重复学习练习：
第001步：第1环右上左绕下
形成假八连环。
定义：假八连环
第002步：第3环右上左绕下
第003步：第1环上进右绕下
第004步：第1、2环同时右上左绕下
形成假六连环。
定义：假六连环
第005步：第5环右上左绕下
第006步：第1、2环同时上进右绕下
第007步：第1环右上左绕下
第008步：第3环上进右绕下
第009步：第1环上进右绕下
第010步：第1、2环同时右上左绕下
第011步：第4环右上左绕下
第012步：第1和2环同时上进右绕下
第013步：第1环右上左绕下
第014步：第3环右上左绕下
第015步：第1环上进右绕下
第016步：第1、2环同时右上左绕下
形成假四连环。
定义：假四连环
第017步：第7环右上左绕下
第018步：第1、2环同时上进右绕下
第019步：第1环右上左绕下
第020步：第3环上进右绕下
第021步：第1环上进右绕下
第022步：第1、2环同时右上左绕下
第023步：第4环上进右绕下
第024步：第1、2环同时上进右绕下
第025步：第1环右上左绕下
第026步：第3环右上左绕下
第027步：第1环上进右绕下
第028步：第1、2环同时右上左绕下
第029步：第5环上进右绕下
第030步：第1、2环同时上进右绕下
第031步：第1环右上左绕下
第032步：第3环上进右绕下
第033步：第1环上进右绕下
形成九八空六连环。
定义：九八空六连环
第034步：第1、2环同时右上左绕下
第035步：第3环右上左绕下
第036步：第1、2环同时上进右绕下
第037步：第1环右上左绕下
第038步：第3环右上左绕下
第039步：第1环上进右绕下
第040步：第1、2环同时右上左绕下
第041步：第6环右上左绕下
形成九八空单个五环。
定义：九八空单个五环
第042步：第1、2环同时上进右绕下
第043步：第1环右上左绕下
第044步：第3环上进右绕下
第045步：第1环上进右绕下
第046步：第1、2环同时右上左绕下
第047步：第4环上进右绕下
第048步：第1、2同时环上进右绕下
形成九八空五连环。
定义：九八空五连环
第049步：第1环右上左绕下
第050步：第3环右上左绕下
第051步：第1环上进右绕下
第052步：第1、2环同时右上左绕下
第053步：第5环右上左绕下
形成九八空单个四环。
第054步：第1、2环同时上进右绕下
第055步：第1环右上左绕下
第056步：第3环上进右绕下
第057步：第1环上进右绕下
形成九八空四连环。
定义：九八空四连环
第058步：第1、2环同时右上左绕下
第059步：第4环右上左绕下
第060步：第1、2环同时上进右绕下
第061步：第1环右上左绕下
第062步：第3环右上左绕下
第063步：第1环上进右绕下
第064步：第1、2环同时右上左绕下
形成单九八环。
第065步：第9环右上左绕下
形成单八环。
解到这一步为止，我们才从九连环上成功解下第一个环。也就是说当我们编号的第九个环从横框上解下来的时候，才是真正意义上的解下了一个环。
接下来的步骤就是先复原为八连环，再解下第二个环。以此类推，直到完成九个环都与横框分离，则为最终解环完成。
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